1. pt (1) \(\Leftrightarrow x^2+y^2=19+xy\)

pt (2) \(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2\right)^2-x^2y^2=931\)

\(\Leftrightarrow\left(19+xy\right)^2-x^2y^2=931\)

\(\Leftrightarrow361+38xy+x^2y^2-x^2y^2=931\)

\(\Leftrightarrow xy=15\) thay vào (*) tính được \(x^2+y^2=34\)

\(\Rightarrow\) \(x+y=8\)

Có \(xy=15\) và \(x+y=8\) dễ dàng tìm được x và y

2. \(\left(x+2\right)\sqrt{x+1}=2x+1\) (1) với \(x\ge-1\)

Đặt \(\sqrt{x+1}=t\ge0\)

\(\left(1\right)\Rightarrow\left(t^2+1\right)t=2t^2-1\)

\(\Leftrightarrow t^3-2t^2+t+1=0\)

Tuy nhiên pt này ko có nghiệm ko âm nên ko tìm được giá trị của t

Suy ra pt ban đầu vô nghiệm

@Ace legona

Ace Legona ; Akai Haruma

Tui chơi bang bang trao đổi acc không

 Xét số hạng tổng quát ta có:

\(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n}}{\left(n+1\right)n}=\sqrt{n}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\)

\(=\sqrt{n}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)< \sqrt{n}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)

\(=\sqrt{n}\cdot\frac{2}{\sqrt{n}}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)=\frac{2}{\sqrt{n}}-\frac{2}{\sqrt{n+1}}\)

Áp dụng vào bài tập, ta có:

\(\frac{1}{2\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}\)

\(< \frac{2}{\sqrt{1}}-\frac{2}{\sqrt{2}}+\frac{2}{\sqrt{2}}-\frac{2}{\sqrt{3}}+...+\frac{2}{\sqrt{n}}-\frac{2}{\sqrt{n+1}}\)

\(=2-\frac{2}{\sqrt{n+1}}< 2\left(đpcm\right)\)

Đặt $x=\sqrt[3]{3+2\sqrt{2}},y=\sqrt[3]{3-2\sqrt{2}}$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x^{3}+y^{3}=6\\xy=1 \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow (x+y)^{3}=x^{3}+y^{3}+3xy(x+y)=6+3xy=3[1+1+(x+y)]> 3.3\sqrt[3]{1.1.(x+y)}$
(Vì x>1,y>0=>x+y>1)
Do đó: $(x+y)^{3}> 3^{2}.\sqrt[3]{x+y}$
$\Rightarrow (x+y)^{9}>3^{6}.(x+y)$
$\Rightarrow (x+y)^{8}>3^{6}$
=>đpcm

Đặt $x=\sqrt[3]{3+2\sqrt{2}},y=\sqrt[3]{3-2\sqrt{2}}$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x^{3}+y^{3}=6\\xy=1 \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow (x+y)^{3}=x^{3}+y^{3}+3xy(x+y)=6+3xy=3[1+1+(x+y)]> 3.3\sqrt[3]{1.1.(x+y)}$
(Vì x>1,y>0=>x+y>1)
Do đó: $(x+y)^{3}> 3^{2}.\sqrt[3]{x+y}$
$\Rightarrow (x+y)^{9}>3^{6}.(x+y)$
$\Rightarrow (x+y)^{8}>3^{6}$
=>đpcm

Đặt $x=\sqrt[3]{3+2\sqrt{2}},y=\sqrt[3]{3-2\sqrt{2}}$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x^{3}+y^{3}=6\\xy=1 \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow (x+y)^{3}=x^{3}+y^{3}+3xy(x+y)=6+3xy=3[1+1+(x+y)]> 3.3\sqrt[3]{1.1.(x+y)}$
(Vì x>1,y>0=>x+y>1)
Do đó: $(x+y)^{3}> 3^{2}.\sqrt[3]{x+y}$
$\Rightarrow (x+y)^{9}>3^{6}.(x+y)$
$\Rightarrow (x+y)^{8}>3^{6}$
=>đpcm